피보나치와 수학

레오나르도 피사노는 이탈리아 출신의 유명한 수학자로, 일반적으로는 피보나치(1175-1250)라는 이름으로 더 잘 알려져 있습니다. 그의 이름을 딴 피보나치 수열로 그의 기여가 가장 잘 알려져 있습니다. 이 수열은 각 항이 그 전의 두 항의 합으로 이루어진 숫자의 연속으로, 수학자들 사이에서 높이 평가받고 있습니다.

또한 피보나치는 유럽에 아라비아 수 체계를 도입했음으로써 중요한 역할을 했습니다. 그는 12세기 유럽에서 아직도 로마 숫자(I, V, X, D, ...)를 사용하던 시대에 아라비아 숫자(0, 1, 2, 3, 4, ...)를 널리 알리는 데 중요한 역할을 했습니다.

피보나치는 "Liber Abaci"라는 제목의 책을 통해 십진법을 소개했습니다. 이 책은 상인들에게 매우 유용한 교과서로서 사용되었으며, '산반서(The Book of Calculation)'로도 널리 알려져 있습니다. 이는 피보나치 자신이 저술한 1202년의 역사적인 라틴어 원본이다.

"Liber Abaci"는 힌두-아라비아 숫자 체계를 설명하고 있으며, 현대 '아라비아 숫자'(Arabic numerals)의 전신이자 이와 매우 유사한 기호를 사용한 최초의 서양 책 중 하나로 잘 알려져 있습니다. 더욱이, 이 책은 상업 상인과 수학자 모두의 응용문제를 더욱 효율적으로 처리해 보임으로써 아라비아 숫자를 사용한 10진수 시스템(decimal numeral system)의 우수성과 이러한 기호(glyphs)의 활용을 널리 촉진하는 데 크게 기여했습니다.

이야기는 12세기로 거슬러 올라갑니다. 이 시기에 두 숫자를 사용하여 수학적 계산을 하는 것이 로마 숫자를 사용하여 계산하는 것보다 훨씬 효과적이라는 사실을 알게 된 이후, 유럽의 수학자들은 아랍 세계의 수학을 배우기 위해 지중해 지역을 여행하게 되었습니다. 그 중 한 명이 바로 1200년경에 아랍 수학을 배우기 위해 여행을 마치고 돌아온 학자였습니다.

그는 1202년, 그가 32세가 될 때, 그의 지식을 집대성한 "주판 책(Book of Abacus)" 혹은 "계산 책(Book of Calculation)"을 출판하게 됩니다. 이 책에서는 피보나치의 수열이 처음으로 등장하였으며, 힌두-아라비아 숫자는 9세기 아랍 수학자 al-Khwārizmī의 저술 번역을 통해 소수의 유럽 지식인에게만 알려져 있었습니다.

이 책의 초반 7장에서는 표기법을 다루면서, 숫자의 위치에 따라 10, 100 등의 단위를 결정하는 자릿값의 원리를 설명하고, 산술 연산에서 숫자를 어떻게 사용하는지를 보여줍니다. 그 후에는 이러한 기술이 실제 문제, 예를 들어 이익 마진, 물물 교환, 화폐 교환, 도량형 변환, 파트너십 및 이자 등에 어떻게 적용되는지를 보여주었습니다.

대부분의 작업은 추측 수학에 초점을 맞추었습니다. 비율(비율을 찾는 어림짐작 방법인 3의 법칙과 5의 법칙 등으로 대표되는 대중적인 중세 기술), 거짓 위치의 법칙(문제를 거짓 가정에 따라 해결하는 방법), 근 추출, 숫자의 속성, 그리고 일부 기하학 및 대수학으로 마무리됩니다.

1220년에 피보나치는 또 다른 작품, "Practica geometriae"를 발표했습니다. 이는 유클리드의 원소와 나눗셈에 기반한 정리로 구성된 8장의 책입니다. 수년 동안 피보나치는 프리드리히 2세와 그의 학자들과 서신을 주고받으며 수학적 문제를 교환하였습니다.

그는 자신의 "Liber Quadratorum"(1225, "제곱수의 책")이라는 작품을 Frederick에게 제공하였으며, 이 작품은 2차 디오판토스 방정식(사각형에 전적으로 관심을 가진 방정식)에 대한 피보나치의 걸작으로 간주됩니다. 이 책은 체계적으로 정리된 정리의 모음으로, 피보나치가 자신의 증명을 사용하여 일반적인 해결책을 찾아낸 많은 정리를 담고 있습니다.

아마도 그의 가장 창의적인 작품은 합동 수, 즉 주어진 수로 나누어도 나머지가 같은 수를 찾는 것이었습니다. 그는 제곱수에 더하거나 빼면 제곱수가 남는 숫자를 찾는 독창적인 방법을 고안하였습니다. x의 제곱과 y의 제곱의 합과 x의 제곱과 y의 제곱의 차가 둘 다 정사각형일 수 없다는 그의 발견은 유리수 직각삼각형의 면적을 결정하는 데에 굉장히 중요한 역할을 하였습니다.

피보나치의 널리 알려진 업적 중 하나인 피보나치 수에 대해 설명하면 다음과 같습니다. 이것은 자연의 순서와 성장을 설명하는 데 매우 중요한 역할을 하는 패턴입니다. 이 패턴을 이해하기 위해, 수컷과 암컷으로 구성된 새끼 토끼 한 쌍을 받았다고 상상해 보십시오.

상상의 토끼들은 죽지 않으며, 암컷은 정확히 한 달에 한 번 새로운 토끼 한 쌍을 낳습니다. 이 토끼들은 항상 다른 한 쌍의 수컷과 암컷으로 구성되어 있습니다. 첫 달에 토끼는 매우 작아 많은 일을 할 수 없지만, 그들은 매우 빠르게 성장합니다.

한 달이 지나면, 이 토끼들은 완전히 성장하고 짝짓기를 시작할 수 있습니다. 그리고 이어서 한 달 후에, 그들은 자신들의 첫 쌍둥이를 가지게 됩니다. 이제 두 쌍의 토끼가 있습니다.

다음 달에는, 원래의 토끼 한 쌍이 다시 한 쌍의 토끼를 낳게 됩니다. 그 사이에 첫 아이들은 이미 완전히 성장했으며, 이제 총 세 쌍의 토끼가 있게 됩니다.

다섯 번째 달이 되면, 원래의 토끼 한 쌍이 다시 한 쌍의 토끼를 낳게 됩니다. 동시에, 그들의 첫 번째 아이들은 이제 손주를 낳을 수 있는 나이에 이르렀습니다. 이제 총 다섯 쌍의 토끼가 있습니다.

생후 6개월이 되면, 세 쌍의 부부가 더 토끼를 출산합니다. 이때 n번째 달에 a 쌍의 토끼가 있었고, 다음 n+1번째 달에는 새로 태어난 토끼를 포함해 b 쌍이 있었다고 가정합니다. 그러면 그다음 n+2번째 달에는 a+b 쌍의 토끼가 있게 됩니다.

이는 n번째 달에 살아있던 토끼는 충분한 나이가 되어 새끼를 낳을 수 있지만, 바로 전 달인 n+1번째 달에 막 태어난 토끼는 아직 새끼를 낳을 수 없기 때문입니다. 이러한 패턴은 피보나치 수로 알려져 있으며, 그 수의 처음 몇 항은 (0번째 항부터 시작할 경우) 다음과 같습니다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946.

이를 수식으로 표현하면 n번째와 n+1번째의 합은 n+2번째와 같게 됩니다. 이는 자연의 성장과 순서를 설명하는 데 중요한 역할을 하는 패턴입니다.

과학자들은 피보나치 수열에 대한 연구를 깊이 있게 수행하면서, 이러한 수열이 자연계에서 여러 곳에 존재한다는 것을 발견했습니다. 그들의 연구는 다양한 자연 현상에서 이 수열을 찾아내는 데에 이르렀는데, 그 예시로는 해바라기의 머리에서 볼 수 있는 나선 패턴, 솔방울의 구조, 수컷 벌의 계보에서 볼 수 있는 규칙적인 하강, 달팽이 껍데기의 고유한 로그 나선, 식물의 줄기에서 볼 수 있는 잎눈의 배치, 그리고 동물의 뿔 등이 있습니다. 이런 발견은 자연계에서의 패턴과 숫자의 관계를 이해하는 데 매우 중요한 역할을 하였습니다.