1부터 100까지의 자연수의 합이 궁금해? 가우스에게 물어봐

칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)는 수학의 역사상 가장 위대한 수학자로 평가되고 있습니다. 그는 대수학과 정수론뿐만 아니라 미적분학, 기하학, 통계학과 같은 수학의 다양한 분야에서 혁신적인 발견을 했습니다. 그는 위치천문학, 천체역학, 측지학, 보험수학 등 이론과 응용과학의 다양한 분야에서 활약했습니다. 가우스의 천재성을 보여주는 일화가 있습니다. 그는 3살 때 아버지의 회계 실수를 수정하고 8살 때는 1부터 100까지의 모든 정수를 빠르게 더하는 방법을 발견했습니다. 가우스의 지도 교사인 뷔트너 선생님이 "1에서 100까지의 숫자들을 모두 더하면 얼마가 될까?"라는 문제를 제시했습니다. 가우스는 종이에 5050이라고 적어서 제출했고, 이유를 다음과 같이 설명했습니다. "S=1+2+3+...+99+100라면 S=100+99+...+3+2+1입니다. 이를 위아래 같은 항끼리 더하면 2S=101+101+...+101+101이 되고, 101이 100개 있으므로 이를 곱한 후 2로 나누면 5050이 됩니다."

 

그의 저서 《산술 연구》(라틴어: Disquisitiones Arithmeticae)는 일반적인 정수론의 용어를 개선하고자 했습니다. 이 책은 정수의 나누어떨어지는 개념의 처리를 매우 단순화시킨 합동 산술과 합동식 등을 만들어냈습니다. 이를 통해 우리는 정수론에 대한 이해를 더욱 쉽게 할 수 있게 되었습니다.

 

뿐만 아니라, 가우스는 1보다 큰 모든 자연수가 소인수들의 순서를 무시하면 유일한 방법으로 소인수 분해된다는 산술의 기본 정리를 최초로 증명했습니다. 이는 정수론의 세계에 큰 혁명을 일으켰으며, 우리의 수학적 지식을 한 단계 높여주었습니다.

 

가우스의 《산술 연구》는 이러한 성과를 담고 있으며, 정수론의 발달에 크게 기여한 책입니다. 그의 아이디어와 발견은 수학자들에게 큰 영감을 주었고, 이후의 연구와 발전에도 큰 토대를 마련해 주었습니다.

 

그리스의 대수학자인 유클리드의 《유클리드의 원론》에는 기하학적인 공리들이 포함되어 있습니다. 이 중 하나는 "임의의 직선 위에 없는 점을 선택하고, 그 점을 지나며 해당 직선과 평행한 직선은 오직 하나만 그을 수 있다"는 내용입니다. 그러나 가우스는 이러한 평행선 문제에 대해 더 깊이 탐구하여, 비유클리드 기하학에서도 모순 없이 여러 개의 평행선을 그을 수 있다는 것을 보여주었습니다. 가우스는 이 내용을 1829년 이전에 편지를 통해 암시적으로 토론하였으며, 그의 오랜 제자인 월도 더닝턴(영어: Waldo Dunnington)은 이를 증명하였습니다. 그러나 가우스는 이 연구 성과를 출판하지 않았습니다.

 

가우스의 연구는 기하학에 새로운 아이디어와 접근법을 제공하였습니다. 이는 평행선의 개념에 대한 전통적인 관점을 깨뜨리고 비유클리드 기하학에 대한 이해를 확장시켰습니다. 이러한 가우스의 연구는 수학의 발전에도 큰 영향을 미쳤으며, 그의 제자들과 후계자들이 그 아이디어를 발전시키고 확장시키는 데 기여하였습니다. 따라서 가우스의 평행선 연구는 수학과 과학의 역사에서 중요한 위치를 차지하고 있습니다. 가우스의 이러한 연구를 통해 우리는 평행선의 성질과 기하학적 공리에 대한 깊은 이해를 얻을 수 있습니다.

 

1828년 곡률의 개념에 대한 중요한 성질을 제시하였다. 이 정리에 의하면, 면의 곡률은 면이 어떻게 3차원 공간상에 배치되어 있는지에 의존하지 않으며, 면의 곡률은 측정 각들과 면의 거리에 따라 완전히 결정되는 것으로 밝혀졌다. 이러한 결과는 곡률에 대한 이해를 더욱 깊이 있게 하고, 곡률이 어떻게 면이 공간상에서 배치되어 있는지와는 상관없이 결정되는 것을 보여준다.

수학에서 그의 이름이 붙여진 정리와 공식이 많이 있습니다. 그러나 발표 형식을 중시하는 성격 때문에 논문의 수는 적지만, 일지, 서간, 노트 등에서, 그의 거대한 업적을 알 수 있다.

가우스 함수에는 두가지가 있는데 가우스 기호 [] (floor function)이거나 가우스 분포 (Gaussian distribution): 도수 분포 곡선이 평균을 중심으로 좌우대칭인 종 모양을 하는 분포 함수를 말합니다.

 

정규분포의 확률값을 계산하기 위한 적분인 가우스 적분은 수학에서 사용되며, 가우시안은 포토샵 등에서도 자주 사용되는데 이는 미술/디자인 분야에서도 유명합니다. 가우스 분포를 응용하여 만들어지는 필터 효과로서, 이런 이름이 붙게 되었습니다. 가우스 소거법(Gaussian elimination)은 연립 1차 방정식의 기본 해법으로, 미지수를 하나씩 제거해가며 각 미지수를 결정하고, 이를 반대로 대입해가며 전체 미지수를 구하는 방법입니다. 가우스 사상은 곡면 위의 한 점에서의 단위 법선벡터를 평행이동시켜서 곡면 위의 점을 단위 구면에 매핑하는 사상입니다. 이를 가우스 사상 또는 구면 사상이라고 합니다. 가우스 미터는 자속 밀도의 CGS 전자기 단위로, 기호는 G이며, SI 단위인 테슬라(T)의 1만 분의 1입니다. 가우스 소수는 가우스 정수 체계에서 정의되는 소수를 의미합니다. 가우스 법칙은 폐곡면을 통과하는 전기 선속이 폐곡면 내의 알짜 전하량에 비례한다는 법칙입니다. 이는 맥스웰 방정식 중 하나입니다. 가우스 정리(Gauss's Theorem)는 발산 정리라고도 불리며, 물리학의 가우스 법칙과도 관련이 있습니다. 또한, 미분위상수학의 스토크스 정리의 특수한 경우로, 대학 미적분학에서 스토크스 정리라고 언급하면 일반적으로는 켈빈-스토크스 정리를 의미합니다. 가우스의 빼어난 정리(Gauss's Theorema Egregium)는 곡면의 가우스 곡률(Gaussian curvature)이 제일 기본계수(First Fundamental Form)와 그들의 편도함수에만 의존한다는 정리입니다. 즉, 가우스 곡률은 등거리 변환(isometry)에 의해 변하지 않습니다. 가우스 상은 가우스 광학이라고도 불리며, 다양한 분야에서 사용됩니다.

 

가우스의 모든 저서와 논문 중에서 가장 뛰어난 것으로 평가되는 저서(산술에 관한 연구)는 정수론과 대수학에 대해 다루는 책입니다. 실제로, 이 책 하나 때문에 당대의 수학자들이 모두 대수학과 정수론 분야로 관심을 기울였고, 아벨이나 디리클레 등의 수학자들에게도 큰 영감을 주었습니다. 가우스의 연구는 수학의 발전에 크게 기여하였습니다.