The Elements의 저자 유클리드의 수학 업적

알렉산드리아의 유클리드(Εὐκλείδης, 기원전 300년경)는 그리스의 뛰어난 수학자로 종종 '기하학의 아버지'라는 칭호로 불립니다. 그의 업적 중 가장 유명한 것은, 그의 저서 'The Elements'에서 처음으로 유클리드 기하학을 세상에 소개한 것입니다. 이 책에서는 또한 5개의 공리를 정의하였으며, 이 공리들은 기하학과 정수론의 기본적인 토대를 제공합니다. 그는 이 책을 통해 무한히 많은 소수가 있다는 사실을 포함한 많은 중요한 수학적 증명을 세상에 소개하였습니다. 'The Elements'는 그의 뛰어난 사고력과 창의력이 드러난 작품으로, 수학에 대한 그의 깊은 이해와 열정이 독자들에게 전해졌습니다. 이 책은 지금까지 출판된 책 중에서도 가장 영향력 있는 책 중 하나로 꼽히며, 19세기까지 수학 교과서로 널리 사용되었습니다. 유클리드의 업적은 그의 시대 뿐만 아니라 그 이후의 수학 발전에도 큰 영향을 미쳤습니다.

그리스 수학자들은 형식적 증명의 작성을 위해서는 모든 사람이 참이라고 동의하는 간단하고 직관적인 진술, 즉 출발점이 필요하다는 점을 깨달았습니다. 이런 출발점은 공리라고 부릅니다. 공리란 '자명한 것'으로 간주되며, 증거를 요구하지 않고 받아들여지는 수학적 진술입니다. 이것은 너무나 간단하고 명백하여 의심할 여지가 없는 사실이어야 합니다.

공리는 수학의 기초를 형성하며, 이를 통해 다른 더 복잡한 결과를 증명하는 데 사용됩니다. 수학의 본질은 논리 규칙을 사용하여 서로 다른 공리를 결합하고, 이를 통해 더 복잡한 결과를 증명하는 데 있습니다. 이 과정은 깊은 생각과 논리의 적용, 그리고 집중력을 필요로 합니다.

따라서, 공리는 단지 수학적 진술을 받아들이는 기본적인 원칙이 아니라, 더 복잡한 수학적 원리를 파악하고 이해하는 데 필요한 핵심 도구입니다. 이는 수학의 아름다움을 보여주는 하나의 예시이며, 이러한 접근법은 그리스 수학자들에 의해 첫번째로 도입되었습니다.

유클리드 기하학의 기본을 이루는 다섯 가지 공리가 있습니다. 첫 번째 공리는 임의의 두 점 사이에는 선분을 그릴 수 있다는 것입니다. 이는 기하학의 가장 기본적인 개념 중 하나로, 어떤 한 점에서 다른 한 점으로 이어지는 직선의 일부를 의미합니다. 두 번째 공리는 어떤 선분이든 다른 선분으로 연장할 수 있다는 것으로, 이는 선분의 길이를 무한히 늘릴 수 있다는 개념을 내포하고 있습니다.

세 번째 공리는 어떤 한 점을 중심으로 하고, 해당 점에서 일정한 거리에 있는 모든 점들을 이은 선으로 하나의 원을 그릴 수 있다는 원칙입니다. 이 원칙은 원의 정의를 내포하며, 이는 기하학적 도형의 중요한 요소입니다.

네 번째 공리는 모든 직각은 서로 같다는 것으로, 이는 직각의 정의를 명확히 해주며, 이를 통해 다양한 삼각형과 사각형을 분석하는 데 필요한 기본적인 개념을 제공합니다.

마지막으로, 다섯 번째 공리는 두 직선이 한 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 180도보다 작으면, 이 두 직선은 연장할 때 180도보다 작은 내각을 이루는 쪽에서 반드시 만난다는 것입니다. 이는 평행선 공준으로 알려져 있으며, 이를 통해 평행선의 성질과 관련된 다양한 이론을 도출할 수 있습니다.

 

이러한 각 공리들은 매우 명백하고 자명하게 보이지만, 기하학의 기본적인 구조를 형성하고, 이를 바탕으로 거의 모든 기하학적 개념과 이론을 추론하고 설명하는 데 사용됩니다.

 

유클리드는 그의 엄청난 업적인 다섯 가지 공리를 "Elements"라는 책으로 출판하였습니다. 이 책은 수학에 대한 체계적인 접근의 역사상 최초의 사례이며, 수천 년 동안 수학 교과서로 사용된 것이 특징입니다. 이 책의 내용을 살펴보면, 제1권에서 제4권까지는 2차원(평면) 기하학에 관한 내용을 담고 있습니다. 제1권에서는 필수적이고 예비적인 정의와 설명 및 공준과 공리로 시작하여, 합동, 평행선, 직선으로 이루어진 도형 등에 관한 친숙한 정리들이 포함되어 있습니다. 이 정리들은 수학 실습에서 자주 접하게 되는 개념들로, 그 중에서도 책의 마지막 두 정리인 정리 47과 48은 피타고라스 정리와 그를 이해하는데 필요한 내용들을 다루고 있습니다. 이러한 중요한 내용들이 포함되어 있어서 18세기까지 기하학 교과서로 쓰인 이유를 찾을 수 있습니다.

 

제2권은 겨우 14개의 정리만을 포함하고 있는 작은 책인데 여기에서는 주로 피타고라스학파의 기하 대수학을 다루고 있습니다. 이 책의 정리 12와 13은 근본적으로 오늘날 코사인 법칙으로 알려진 피타고라스 정리의 일반화에 대한 내용을 담고 있습니다.

 

제3권에는 39개의 정리로 이루어졌으며, 원, 현, 할선, 접선, 연관된 각도의 측정 등에 관한 정리들을 포함하고 있습니다. 이 외에도, 제4권에는 16개의 정리로 이루어져 있으며 자와 컴퍼스를 이용한 작도, 주어진 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우의 작도, 정다각형의 작도를 포함하고 있습니다.

 

제5권부터는 비율과 비례로부터 시작해 기초적인 수론을 다루는 내용으로 넘어갑니다. 제6권에서는 제4권에 이어 이를 도형에 적용하고 제10권까지 다시 수론을 다루는 내용을 다룹니다. 제5권에는 에우독소스의 비율 이론에 대한 대가다운 설명에 충당하였습니다. 이 책은 수학적인 문헌 중에서 훌륭한 걸작 중의 하나로 간주합니다. 제6권에는 에우독소스의 이론을 닮음 도형의 연구에 응용하고 있습니다.

 

제7권에는 두 개 이상의 정수에 대한 최대공약수를 구하는 방법(유클리드 호제법)으로 시작된다. 또한 초기 피타고라스학파의 비율 이론에 대한 설명을 발견할 수 있습니다. 제8권에는 주로 연비례와 그것과 관련된 등비수열을 다루고 있습니다. 만약 a : b = c: d가 성립하면 a, b, c, d는 등비수열을 형성한다는 개념을 설명하고 있습니다.

 

제9권에는 수론에서 중요한 많은 정리가 있습니다. 먼저 정리 14는 중요한 ‘산술의 기본 정리(Fundamental theorem of arithmetic)’ 즉 “1보다 큰 임의의 정수는 반드시 소수들의 곱으로 표현될 수 있으며 근본적으로 단 한 가지 방법으로 표현된다.”는 정리와 동치입니다. 정리 20에서 ‘소수의 개수는 무한하다.’는 사실에 대해 매우 세련된 증명을 찾아볼 수 있습니다. 정리 35는 등비수열의 첫 n개의 항의 합에 대한 공식을 기하적으로 유도했습니다. 그리고 이 책의 마지막 정리인 정리 36은 짝수인 완전수를 만드는 놀라운 공식을 증명하고 있습니다.

 

제10권에는 무리수들, 즉 어떤 주어진 선분의 길이를 단위로 재어 비율로 나타낼 수 없는 길이를 다루고 있습니다.

 

마지막으로 제11권에서 제13권까지는 3차원 기하학에 관한 내용들 담고 있습니다. 제11권에는 선과 면·면과 면·평행육면체·정육면체·각기둥, 제12권에는 원의 면적과 각뿔·각기둥·원뿔·원기둥·구의 체적(단, 원주율은 쓰지 않음. 원의 면적은 지름의 제곱에 비례하고 구의 체적은 지름의 세제곱에 비례함을 이용), 제13권에는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 다섯 종류만이 정다면체임을 증명함으로서 책을 마무리합니다.

 

유클리드의 뛰어난 업적을 깊게 연구하고 이해한 사람 중 한 명이 바로 미국의 제3대 대통령 겸 독립 선언서의 주요 저자인 토머스 제퍼슨이었습니다. 토마스 제퍼슨(Thomas Jefferson, 1743 – 1826)은 미국 건국의 아버지들 중 한 명으로, 그의 업적과 공헌은 미국 역사에 결코 잊혀질 수 없는 중요한 부분입니다. 그는 유클리드의 논리적 접근법과 이론을 깊이 이해하고 있었으며, 1776년 미국 독립선언서를 작성할 때도 이러한 접근법을 적극 활용하고 싶었습니다. 그는 우선 몇 가지 간단한 "공리"를 제시하고, 그런 다음 이 공리들로부터 더 복잡한 결과를 "증명"하였습니다. 그래서 그는 "우리 이 연합 식민지들은 자유롭고 독립된 국가라는 명백한 진리를 선언한다"라는 결론에 이르렀습니다.

 

이것은 수학에 대한 유클리드의 아이디어가 다른 전혀 다른 주제에 영감을 주는 대표적인 예입니다. 유클리드의 이론과 원리는 그의 시대를 넘어서며, 다양한 분야에서 활용되고 있습니다. 그의 아이디어는 수학자뿐만 아니라 과학자, 엔지니어, 심지어 예술가들에게도 큰 영감을 주었습니다.