자연수의 합은 음수? 천재 인도 수학자 라마누잔의 수학적 업적

스리니바사 라마누잔(1887 – 1920)은 인도 타밀나두주에서 태어났으며 집안이 가난하여 학교에 다니지 못해 수학에 대한 정규 교육을 거의 받지 못했습니다. 그러나 우연히 찾아낸 수학 공식집을 읽으며 독학으로 수학을 공부해서 새로운 아이디어를 발전시킬 수 있었습니다.

라마누잔은 어렸을 때부터 수학에서 남다른 천재성을 나타냈으며, 고등학교까지는 성적이 우수했으나 남인도의 케임브리지 대학교라 불리는 쿰바코남 대학교에 입학한 이후, 수학 이외의 모든 과목에서 낙제하는 바람에 중퇴하였습니다. 당시 유명한 수학자였던 베이커(H. F. Baker)와 홉슨(W. E. Hobson)에게 후견인이 되어달라고 편지를 보냈으나 거절당했습니다. 1913년 1월 16일에 그가 발견한 복잡한 수학 정리 몇 개를 나열한 편지를 고드프리 해럴드 하디에게 보냈는데, 하디는 라마누잔의 천재성에 주목해서 그를 영국으로 초청했습니다. 그리고 하디는 그가 영국의 케임브리지로 갈 수 있도록 주선했습니다. 그들은 함께 정수론, 분석 및 무한급수에서 수많은 발견을 했습니다.

Ramanujan은 불과 짧은 생애 동안에도 불구하고, 광범위한 수학적 주제에 대해 3,900개 이상의 고유한 정리와 방정식을 증명하였습니다. 이러한 엄청난 업적은 그가 가진 뛰어난 수학적 역량을 입증하는 것이었습니다. 그러나 라마누잔은 생애 동안 전문 수학자들에게 자신의 연구자료를 홍보하고 관심받기 위해 끊임없이 노력했습니다. 그의 정리들은 너무 혁신적이고, 낯설고, 비정상적인 방식이었기 때문에, 그의 뛰어난 재능을 알아본 G. H. 하디를 만나기 전까지는 대체로 경시되었습니다.

그의 연구는 수학의 완전히 새로운 영역을 창출했으며, 그의 노트는 그의 사후 수십 년 동안 다른 수학자들에 의해 세심하게 연구되고 분석되었습니다. 이는 그의 연구가 가진 획기적인 가치를 보여주는 것이었습니다. 심지어 1976년에 발굴된 그의 미발표 공책에서는 그의 연구가 집필 후 수십 년이 지났음에도 불구하고 그와 유사한 연구가 발표되지 않았을 정도로 독창적이었습니다. 이는 그의 연구가 가진 혁신적인 가치와 독창성을 입증하는 것이었습니다.

그의 수학에 대한 열정을 보여준 일화의 하나로는, 1918년 입원 중이던 라마누잔을 하디가 문병하러 왔을 때, "타고 온 택시의 번호는 1729였어. 딱히 특징도 없는 평범한 숫자이지."라고 하디가 말하자, 라마누잔은 즉시 이렇게 대답했다.: "아닙니다. 매우 흥미로운 수입니다. 서로 다른 2가지 방법으로 두 양수의 세제곱 수의 합으로 나타낼 수 있는 수 중 가장 작은 수이기 때문이죠." 실제로 1729는 아래와 같이 나타낼 수 있다.: 1729=123+13=103+93이는 1729가 서로 다른 두 수의 세제곱의 합과 같고 또다른 두사의 세제곱의 합으로도 나타낼 수 있는 가장 작은 수임을 라마누잔이 그 자리에서 지적한 것이다. 이와 같은 수들을 하디-라마누잔 수

또는 택시 수(taxicab number)라고 부르게 되었습니다. 사람들은 라마누잔이 어떻게 그렇게 빨리 1729라는 수의 특징을 파악했는지 궁금해했는데 라마누잔은 예전에 이미 1729라는 수의 특징을 노트에 기록해 두었고 1729라는 수의 특이한 특징 때문에, 하디와의 대화에서 기억해 낼 수 있었던 것입니다.

마지막으로 라마누잔이 죽기 전에 연구하던 공식은 블랙홀의 엔트로피를 계산하는 데 도움이 될 수 있다고 밝혀졌다. 가우스, 오일러와 함께 하늘이 내린 수학자로 꼽히는 인도의 스리니바사 라마누잔, 정수론 분야에서 중요한 업적을 남긴 이 천재 수학자는 원주율을 비롯한 수학상수, 소수, 분할 함수 등을 이용한 합 공식을 많이 발견한 것으로 유명합니다.

라마누잔수 eπ√163≒262,537,412,640,768,743.99999999999925...를 발견했는데 이 수는 매우 정수와 가까운 무리수여서 종종 농담의 소재로 활용되기도 합니다.

1+2+3+4+5⋯는 발산수열이므로 값은 당연히 무한대입니다. 상식의 세계에서는 자연수를 무한히 합치면 무한대이고 이를 기호로 ∞로 사용합니다. 그런데 라마누잔은 위의 수열이 수렴한다고 가정하면 -1/12이 된다고 말했습니다. 이를 라마누잔의 합이라고 합니다. 또한 라마누잔은 1−1+1−1+⋯ 의 값을 1/2이라고 했는데 원칙적으로 정의되지 않는 값이긴 하지만 이 급수는 그란디 급수로 불리며 ‘이렇게 부분합이 수렴하지 않는 무한급수의 값은 어떻게 정의할 수 있을까?’란 질문에 답하기 위해 개발된 기법 중 하나입니다.

사실 라마누잔합이라고 부르는 개념은 이렇게 단순한 것이 아니라서 제대로 알아보려면 복소해석학을 배워야 한다. 해석적 확장이라는 개념을 사용하기 때입니다. 하지만 이 직관과는 거리가 먼 결과들은 나중에 리만 가설과 연관성이 발견되면서 재평가를 받습니다. 리만 제타함수를 이용하면 라마누잔의 합이 나오기 때문입니다.

마방진(魔方陳, magic square)이란 마법처럼 느껴질 수 있는 특징을 가진 정사각형 모양의 숫자 배열을 말합니다. 이를 좀 더 상세하게 풀어보면, n차 마방진이란 1부터 n까지의 연속된 자연수를 가로, 세로, 대각선의 합이 모두 동일해지도록 정사각형 패턴으로 배열한 것을 의미합니다.

마방진의 기원은 중국 하나라 시대까지 올라가며, 이 시대의 임금인 우임금이 홍수로 인해 고통받던 황하의 범람을 막기 위해 제방 공사를 수행하던 도중, 강 한복판에서 등에 이상한 그림이 새겨진 거북이를 만났다는 전설이 있습니다. 이 거북이 등에 새겨진 그림은 '낙서(洛書)'라 불리며, 이 그림에는 1부터 9까지의 숫자가 특별한 방식으로 배열되어 있어, 어느 방향으로 더하든 합이 15가 되는 마방진의 형태를 보여 줍니다.

또한, 4차 마방진 중에서는 특히 라마누잔의 마방진이 유명합니다. 이 마방진에서는 가로, 세로, 대각선에 있는 수들의 합이 모두 139가 됩니다. 그리고 이는 뿐만 아니라 동일한 색깔로 표시된 4개의 수의 합 역시 139가 됩니다. 이 마방진에서 특별히 주목할 만한 점은 1행에 라마누잔의 생일인 1887년 12월 22일을 영어의 날짜 표기 방식에 따라 22, 12, 18, 87의 형태로 기록해 놓은 점입니다. 이러한 특징들은 마방진이 단순한 숫자 배열을 넘어서 특별한 의미나 메시지를 전달하는 도구로 사용될 수 있음을 보여 줍니다.